repéré à tout instant t par ses coordonnées polaires (ρ,ϕ) telles que ρ(t)= acos(ωt) et ϕ(t)=ωt (a et ω étant des constantes positives, OM ρeρ r = et = ∧ ϕ Ox,OM) 1. 2 • Faire de même pour l’hodographe. AVANT–PROPOS Ce recueil de cours et exercices résolus de mécanique du point matériel est un support pédagogique destiné aux étudiants de la première année de l’Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques d’Oran. Le concept des coordonnées cylindriques est de rajouter une coordonnée de distance, alors que le système sphérique rajoute une coordonnée angulaire. Un système mixte consiste à utiliser dans l'ordre, le rayon, la longitude et ensuite la colatitude, notés toujours (ρ, θ, φ). 2 u " des coordonnées polaires, on obtient : mLθ•2 = ! Tout d'abord, l'intervalle [a, b] est subdivisé en n sous-intervalles, où n est un entier positif quelconque. Dans ce cas, le système des coordonnées cartésiennes, plus familier, impliquerait d’utiliser des formules trigonométriques pour exprimer une telle relation. Outil mathématique : vecteurs et systèmes de coordonnées, Cinématique du point matériel, Dynamique du point matériel Théorèmes généraux, L’ensemble des … Blaise Pascal usait largement des coordonnées polaires pour calculer la longueur de paraboles. En physique, on utilise le plus souvent les coordonnées (r, θ, φ), où r désigne la distance du point au pôle, θ est l'angle depuis l'axe des z (appelé colatitude ou zénith, compris entre 0° et 180°) et φ est l'angle depuis l'axe des x (comme dans les coordonnées polaires, entre 0° et 360°). L’un des aspects importants du système de coordonnées polaires, qui n’est pas présent dans le système cartésien, est qu’il existe une infinité de coordonnées polaires désignant un même et unique point. Les coordonnées polaires[1] sont, en mathématiques, un système de coordonnées curvilignes[2] à deux dimensions, dans lequel chaque point du plan est entièrement déterminé par un angle et une distance. d ^ En mécanique classique, elles interviennent naturellement dans tous les problèmes présentant une symétrie de rotation en l'origine, à l'instar du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) gravitationnel d'une boule de densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) volumique massique uniforme. → C'est aussi le cas des mouvements de rotation autour d'un point fixe comme le pendule simple, des surfaces d'équilibres autour d'un puits comme l'équation de flux d'eau du sol ou de la variation d'une grandeur en fonction d'un angle comme les polaires en aéronautique ou la directivité d'un microphone, qui caractérise la sensibilité du microphone en fonction de la provenance du son selon l'axe central du microphone. ^ e (r, θ) est alors le couple de coordonnées polaires de M. Anis Prof de Maths 4.91 (68) 50€/h 1 er cours offert ! ⁡ Désignons par (x,y) les coordonnées cartésiennes du point M et par (r,θ) ses coordonnées polaires. Coordonnées cartésiennes et polaires Un système de coordonnées cartésien comporte trois axes, X, Y et Z.Lorsque vous entrez des valeurs de coordonnées, vous indiquez la distance d'un point et son orientation (+ ou -) sur les axes X, Y et Z par rapport à l'origine du système de coordonnées (0,0,0). r Une équation qui définit une courbe algébrique exprimée en coordonnées polaires est connue sous le nom d’équation polaire. . Dans la plupart des cas, une telle équation peut être spécifiée en définissant r comme une fonction de θ. L'une des applications de ces formules est le calcul de l'intégrale de Gauss r , Le couple ( Ë, Ð) correspond aux coordonnées polaires. Une rosace est une courbe très connue qui ressemble à des pétales de fleurs, et qui peut être exprimée par une simple équation polaire : pour n'importe quelle constante réelle φ0. La mécanique hamiltonienne est une reformulation de la mécanique newtonienne. Cette courbe est l'une des premières courbe, après les coniques, à être décrite par des termes mathématiques et à être un exemple de courbe simplement exprimée en coordonnées polaires. r Bernoulli utilisa même ce système pour déterminer le rayon de courbure de courbes exprimées dans ce système. Par exemple, la loi de Laplace-Gauss en statistique a une distribution qui n'est intégrable au moyen de fonctions élémentaires. Pour passer des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, vérifiez d'abord que la fenêtre AccuDraw est sélectionnée, puis appuyez sur la touche .. Quelques courbes polaires les plus connues sont : la spirale d'Archimède, le lemniscate de Bernoulli, le limaçon de Pascal ou encore la cardioïde. {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}} L'addition de nombres complexes est plus aisée en forme algébrique mais la multiplication, la division et l'exponentiation sont plus faciles à réaliser en forme exponentielle (ou de manière équivalente en forme polaire) : Le calcul infinitésimal peut être appliqué aux équations exprimées en coordonnées polaires. d'un point(Graphie) M du plan vectoriel orienté (d'origine O) sont la donnée(Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc. Ce phénomène peut être représenté par une courbe polaire. π Le terme actuel de coordonnées polaires a été attribué à Gregorio Fontana et a été utilisé par les écrivains italiens du XIIIe siècle. ∫ Ils ont chacun leur utilité propre mais il faut prendre garde qu'en physique, on nomme θ la colatitude alors qu'en mathématiques, on nomme généralement θ la longitude. L’angle en notation polaire est généralement donné en degrés ou radians, en utilisant la convention 2π = 360°. Dans l'espace à trois dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), un point M est repéré par. Si r(–θ) = r(θ) alors la courbe est symétrique par rapport à l’axe horizontal (les demi-droites 0° et 180°). La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). La notation r étant systématiquement utilisée en coordonnées sphériques (voir ci-dessous), on lui préfère ici la lettre grecque ρ. Les trois coordonnées cylindriques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par : Les coordonnées polaires peuvent aussi être étendues à l'espace tridimensionnel euclidien, suivant diverses conventions de notation. un vecteur unitaire de même direction que Déterminer la Le principe fondamental de la dynamique nous donne: $$\vec{P}+\vec{T}=m\vec{a}$$ En écrivant ces vecteurs dans les coordonnées polaires à l’aide de la question précédente, cela nous donne donc: $$mg(\cos(\theta)\vec{u_r Les coordonnées polaires (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...) d'un point (Graphie) M du plan vectoriel orienté (d'origine O) sont la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) conjointe de : Remarque : il n'y a pas unicité dans la définition des coordonnées polaires : on dispose d'une certaine liberté quant au choix de la coordonnée angulaire θ. Entre autres choses : Si on veut un choix univoque de r et θ (ce qui n'est pas toujours judicieux), il faut abandonner le point 0. Cette vidéo aborde les méthodes pour retrouver les formules de vitesse et d'accélération en coordonnées polaires et cylindriques. Il existe plusieurs versions de l’introduction des coordonnées polaires comme système de coordonnées formel. ( 2 Ainsi : Remarque: On peut également prendre pour défintion de l'angle φ celui que fait le vecteur par rapport à Ox, Ce qui changerait toutes les relations qui vont suivre. a = ! Ces équations ne peuvent fournir de courbe en forme de fleur à 2, 6, 10, 14… pétales. On dit que l’angle est donné modulo 360° ou 2π[11]. Le terme apparait en anglais pour la première fois dans la traduction de 1816 effectuée par George Peacock du Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Sylvestre-François Lacroix[5],[6]. À cause du caractère circulaire des coordonnées polaires, beaucoup de courbes peuvent être décrites par une équation polaire simple, alors que leur équation cartésienne serait beaucoup plus compliquée. Si r est une fonction f de théta , quand théta décrit l'intervalle I , le point M va décrire une courbe ; r=f(théta) est l'équation polaire de cette courbe. Pour des applications en physique, il est plutôt d'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) {\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )} où u0 est la fonction de Heaviside (En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par...) qui vaut 0 si x est strictement négatif et 1 si x est positif (ou nul), et sgn(y) est le signe de y (-1 si y est négatif, +1 si y est positif). Comme il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. ⁡ Le passage d'un système de coordonnées à l'autre est donné par les formules suivantes : Une autre formule possible (qui revient à séparer des cas, et qui pose encore des problèmes pour les cas limites). Lorsque la saisie dynamique est activée, vous pouvez entrer les valeurs de coordonnées dans une info-bulle en regard du curseur. Toutefois, en faisant tourner cette courbe autour de l'axe des y on obtient une cloche infinie qui, exprimée en coordonnées polaires, est intégrable. Enfin pour e = 0 on obtient un cercle de rayon p. Chaque nombre complexe peut être représenté par un point dans le plan complexe, et de plus peut être exprimé par ses coordonnées cartésiennes (appelé forme algébrique du nombre complexe) ou par ses coordonnées polaires. En mathématiques, en nommant les coordonnées (ρ, θ, φ), où ρ désigne toujours la distance du point au pôle, alors que θ désigne cette fois la longitude (angle mesuré depuis l'axe des x et compris entre –180° et 180°) et φ la latitude, l'angle depuis le plan équatorial (entre –90° et 90°). P + ! Etudier ce mouvement dans le cas où Cst > 0. un point de l’espace y est repéré par la distance à un pôle et deux angles. θ Chapitre 2: Cinématique I Introduction La cinématique est l'étude des mouvements indépendamment des causes qui les produisent. C'est le cas des systèmes dits à force centrale, c'est-à-dire soumis à une force qui passe par un point fixe. r La troisième coordonnée est souvent notée h ou z. θ En navigation, les degrés sont de rigueur, alors que certaines applications physiques (comme l’étude des rotations en mécanique) et la plupart des mathématiques utilisent les radians[12]. A l'aide de la saisie dynamique, vous pouvez indiquer des coordonnées absolues en utilisant le préfixe # . r La position initiale du mobile est donnée par µ(t ˘0) ˘0 et r(t ˘0) ˘r0. , Pour obtenir un unique représentant du point, on limite le rayon aux réels positifs et l’angle entre –180° et 180° (ou 0° et 360°), ou si l’on utilise les radians entre –π et π (ou 0 et 2π). • En appliquant la relation fondamentale de la dynamique après le choc : m! {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} De plus, beaucoup d'études de systèmes physiques, comme l'étude du pendule ou bien tout phénomène où des solides se meuvent autour d'un point central, sont simplifiées en passant en coordonnées polaires. 2 L = T - P cos(θ). dans le système rayon-longitude-latitude (mathématiques). Les deux coordonnées polaires r et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus : x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ . (à noter que toutes ces formules, à l'instar de toutes les autres utilisant l'exponentielle ou les angles, utilisent les radians). . Si r(π – θ) = r(θ), la courbe sera symétrique par rapport à l’axe vertical (90° et 270°). Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par : Les coordonnées sphériques d'un point M de l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) R3 sont la donnée conjointe de : Il existe plusieurs façons de définir ces angles. La définition développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...) ci après prend θ azimutal (ou longitudinal) et φ colatitudinal. Soit R une surface du plan délimitée par la courbe continue r(θ) et les demi-droites θ = a et θ = b, où 0 < b − a < 2π (a et b étant des réels). En général, le point (r ; θ) peut être représenté par (r ; θ ± 2nπ) ou (−r ; θ ± (2 n + 1)π), où n est un entier quelconque et les angles sont notés en radians[9]. Si k est un nombre rationnel, l'équation produit une courbe en forme de fleur dont les pétales se chevauchent. Dynamique 1- aire l’étude dynamique de M sur la partie {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}} x Par exemple, le point (3 ; 420°) est confondu avec le point (3 ; 60°). Les éoliennes sont-elles vraiment responsables de la panne d'électricité au Texas ? θ C'est notamment le cas des systèmes possédant une symétrie de rotation, c'est-à-dire ceux qui sont invariants par rotation autour d'un point fixe. Les deux coordonnées polaires r et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus : Deux coordonnées cartésiennes x et y permettent de calculer la première coordonnée polaire r par : Pour déterminer la seconde (l’angle θ), on doit distinguer deux cas : Pour obtenir θ dans l’intervalle [0, 2 π[, on utilise les formules suivantes (arctan désigne la réciproque de la fonction tangente) : Pour l’obtenir dans l’intervalle ]–π, π], on utilise les formules[13] : Pour obtenir θ dans l’intervalle ]–π, π[, on peut également utiliser la formule suivante, plus concise : qui est valable pour tout point du plan à l'exception du demi-axe des abscisses négatives. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. x Les indicateurs sont définis sur la ligne de commande ou une entrée dynamique est utilisée, appelée à l'aide du bouton F. Pour mettre un point, vous devez entrer ses coordonnées sur la ligne de commande, sans oublier que le séparateur décimal est un point et non une virgule. Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, comme dans le cas du pendule. − ∞ Utilisez les coordonnées polaires absolues lorsque vous connaissez précisément les coordonnées d'angle et de distance du point. ), (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...), (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...), (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de...), (L’usage est l'action de se servir de quelque chose. Si e > 1 l'équation définit une hyperbole, si e = 1, une parabole, si e < 1 une ellipse. + L'analyse vectorielle peut être également appliquée aux coordonnées polaires. θ Découvrir tous nos profs Laurent Prof de Maths 4.90 (86) 50€/h 1 er cours offert ! Page générée en 0.260 seconde(s) - site hébergé chez Amen, (Un champ correspond à une notion d'espace défini:), (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...), Coordonnées circulaires (coordonnées polaires dans le plan), (Les coordonnées polaires sont, en mathématiques, un système de coordonnées...), (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...), (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...), Relations avec les coordonnées cartésiennes, (En mathématiques, la fonction de Heaviside (également fonction échelon, fonction marche ou, par...), (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...), (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...), (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de...), (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...), (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé. Le concept d’angle et de rayon était déjà utilisé lors du Ier millénaire av. Pour les autres points, on peut imposer r>0 et θ appartenant à ]-π,π] par exemple. = Par exemple, les aéronefs utilisent un système de coordonnées polaires quelque peu modifié pour la navigation. L'équation générale d'un cercle de centre (r0 ; φ) et de rayon a est : Dans de nombreux cas, cette équation est simplifiée[14]. Aérosols: identifier et observer en temps réel les molécules impliquées, Comprendre la synchronisation des horloges cellulaires. La règle du changement de variable pour des intégrales multiples stipule que, lorsque l'on utilise d'autres systèmes de coordonnées, le Jacobien de la matrice de conversion des coordonnées est: Un élément d'aire infinitésimale peut donc être vu comme, Maintenant une fonction donnée en coordonnées polaires peut être intégrée comme ceci. Les systèmes de coordonnées polaires dans et sont des systèmes de coordonnées particulièrement adaptées pour l'écriture des rotations ou des homothéties. ) Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes : Les vecteurs sont indépendants du temps, donc : Coordonnées du vecteur vitesse en coordonnées polaires : ux uy et uz , … Le point (–3 ; –120°) sera au même endroit car une distance négative sera considérée comme une mesure positive sur la demi-droite opposée par rapport au pôle (tournée de 180° par rapport à la demi-droite d’origine). Aire du domaine délimité par deux courbes définies en coordonnées polaires Calcul d'une intégrale en utilisant un logiciel de géométrie dynamique Il s’agit de l’élément actuellement sélectionné. Avec le calque de l'objet dynamique sélectionné, Joe Cavazos a appliqué les coordonnées polaires par défaut (Filtre >Déformation > Coordonnées polaires) pour transformer l'effet d'étirement horizontal en étirement circulaire. de prendre φ azimutal, et θ colatitudinal. sin Dans la base polaire (eρ,e ϕ) rrℜ x θ En effet, un voyage peut être défini par une distance et un angle par rapport à la destination. θ Une conique avec un foyer confondu avec le pôle et un autre sur l'axe polaire (0°), le grand axe étant confondu avec l'axe polaire) est donnée par l'équation : où e est l'excentricité et p est appelé paramètre de la conique, et correspond à la longueur du segment perpendiculaire au grand axe joignant le foyer à la courbe. Elle a été formulée par William Rowan Hamilton en 1833 à partir des équations de Lagrange, qui … Utilisez les coordonnées polaires absolues lorsque vous connaissez précisément les coordonnées d'angle et de distance du point. r = ( 4.2 Coordonnées cylindriques (et polaires) 55 4.3 Coordonnées sphériques. Saint-Vincent a écrit sur ce thème en 1625 et a publié son travail en 1647, pendant que Cavalieri publia ses écrits en 1635, une version corrigée vit le jour en 1653. cos et Par exemple. ), Relations avec les coordonnées cylindriques, (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...), (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...), (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...), On peut rajouter à θ un multiple entier de 2π. Par exemple, le point de coordonnées polaires (3 ; 60°) sera placé à trois unités de distance du pôle sur la demi-droite d’angle 60°. Ces mêmes équations en coordonnées cartésiennes seraient beaucoup plus compliquées. Elles sont plus appropriées dans tous les cas où le phénomène considéré est lié à une direction et une longueur d'un point central. On dispose d'ailleurs du même type de changement de dérivées successives au travers de matrices pour tous les ordres de dérivation. cos 61 4.4 Coordonnées curvilignes, ou repère de Frenet. Méthode des coordonnées polaires relatives Entrée au clavier. Vu sur res-nlp.univ-lemans.fr on appelle coordonnées sphériques divers systèmes de coordonnées de l’espace qui généralisent les coordonnées polaires du plan. {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}} Cependant les Grecs ne l’étendront pas à un système de coordonnées complet. les exemples classiques comprennent le problème à deux corps en champs gravitationnels et les systèmes possédant une source ponctuelle (en), comme les antennes radioélectriques. sin L'application est un difféomorphisme local. Une spirale d'Archimède possède deux bras, connectés au pôle : l'un pour θ ≥ 0 et l'autre pour θ ≤ 0, lorsque a = 0, et alors chaque bras est le symétrique de l'autre par rapport à l'axe vertical (90°/270°). ( Pour chaque sous-intervalle i = 1, 2, ..., n, soit θi le milieu de chaque sous-intervalle i. Si k est un entier, cette équation produit une fleur avec 2k pétale(s) si k est pair, et k pétale(s) si k est impair. ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} On peut aussi utiliser la fonction atan2 : ou encore la fonction arccos ou arcsin : voir Nombre complexe#Coordonnées polaires. , Les coordonnées polaires conduisent à une simplification du modèle des systèmes naturels dans lequel un point central joue un rôle particulier. Placer des points en coordonnées polaires, Conversion entre système polaire et cartésien, Calcul différentiel et changement de variables polaire, Calcul différentiel et courbe en coordonnées polaires, théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Coordonnées_polaires&oldid=180063109, Article contenant un appel à traduction en anglais, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, pour un cercle centré sur le pôle et de rayon. SOMMAIRE CHAPITRE 1 : - Système de coordonnées. ⁡ 3 • Faire le lien entre l’angle q =(je x,r)etl’angle j … Cas particulier : les coordonnées polaires : si y se trouve dans le plan { (par exemple pour L Ù), il suffit de connaître Ë et Ð pour définir { y , , , , , , , &. s'écrit. Cet article vous a plu ? d) Expression en coordonnées polaires 16 e) Expression en coordonnées cylindriques 20 f) Vecteur vitesse angulaire 21 g) Vecteur déplacement élémentaire 22 1.4 Vecteur accélération d’un point 24 … Par exemple, les exemples de courbes polaires définies plus haut montrent comment on peut utiliser les coordonnées polaires pour produire des équations simples produisant ces courbes, comme la spirale d'Archimède. On se propose d’étudier le mouvement de M. 1.Quelle est la dimension de a et 1/ , 1 Déterminer la trajectoire de l’anneau en coordonnées polaires par Chaque point du plan est déterminé par les coordonnées polaires, qui sont la coordonnée radiale et la coordonnée angulaire. En effet, on peut rajouter des mesures d’un tour complet sans affecter l’emplacement du point. Son formalisme a facilité l'élaboration théorique de la mécanique quantique. Cette généralisation des coordonnées sphériques (θ,φ,ω) est en fait une définition des angles d'Euler, mais avec des rotations différentes des rotations habituelles : Cette définition n'est pas utilisée, mais elle est présentée ici à titre pédagogique : elle permet de comprendre simplement la notion d'orientation et d'angle d'Euler lorsque l'on a compris celle de coordonnées sphériques. Les trois coordonnées sphériques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par : dans le système rayon-colatitude-longitude (physique), et. - Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel). ) 3.3 Longueur d’une trajectoire en coordonnées polaires Un objet décrit une trajectoire définie en coordonnées polaires par l’équation : 0 rr() (1 cos ) où 0 r = 30 cm 1. La constante réelle a détermine la longueur d'un pétale du centre à son extrémité. Pour convertir d'une forme à l'autre, les formules données plus haut conviennent). (en) spherical.pdf Une proposition pour unifier les notations polaires 2D et 3D. Les coordonnées polaires sont souvent utilisées en navigation. r La coordonnée radiale (souvent notée r ou ρ, et appelé rayon) exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes). Alors Δθ, la longueur de chaque sous-intervalle, est égal à b – a divisé par n, le nombre de sous-intervalles. T et en projetant sur le vecteur ! La courbe résultante est alors formée des points du type (r(θ) ; θ) et peut être vue comme le graphe de la fonction polaire r. Différentes formes de symétries peuvent être déduites de l’équation d’une fonction polaire. Dans le journal Acta Eruditorum (1691), Jacques Bernoulli utilisa un système avec un point et une droite, appelés respectivement le pôle et l'axe polaire. Pour trouver la pente cartésienne de la tangente à la courbe polaire r(θ) à un point donné, la courbe doit d'abord être exprimée en un système paramétrique : En divisant la deuxième équation par la première, on obtient la pente cartésienne de la tangente à la courbe polaire au point (r(θ) ; θ) : Ainsi, au point (r(θ) ; θ), l'angle γ entre l'axe Ox et la tangente à la courbe est donné par la relation : Dans le cas d'un cercle passant par l'origine, de centre Ω = (r0 ; α) et de rayon r0, d'équation : la formule donnant γ (voir figure ci-contre) conduit à. ce qui démontre au passage le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.
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